偶数＋奇数のとき a,bを自然数とし、偶数を2a、奇数を2b+1と表す。 このときこれらの和は2a+(2b+1)=2a+2b+1 =2X(a+b)+1 =2(a+b)+1 (a+b)は自然数であるから2(a+b)+1は奇数である。よって偶数と奇数の和はいつも奇数になる
最後の定理は、ピタゴラスの定理が “退化 “した形では成り立たないが、”純粋 “な形では成り立つことを示している。 ある数が偶数の項を持つ場合、その数が奇数の和であれば、偶数であると主張することが可能である。 証明しよう： 2a + 2b + 1が偶数であることを証明できるとする。2+2+2+2が5個の奇数の和だとすると、2a+2a+2b+1=2a+2a+2b+1=4(a+b+1)となり、奇数の和は2a+2a+2b+1=15(a+b+1)、偶数の和は2a+2a+2b+1=15+4(a+b+1)=25(a+b+1)となる。したがって、25は偶数である。 なぜなら、証明のどの時点でも矛盾が生じる可能性があるからである。したがって、証明の結論は偽である。 また、(2a+2b+1)が5つの奇数の和ではないという事実から矛盾が生じる可能性がある。2a+2b+1=2a+2b+1=2a+2b+2ならば、2a+2a+2b+1=4(a+b+1)であるから、5でなければならない。したがって、5つの偶数の和は4である。この定理の証明は、ピタゴラスの定理が「非幾何」の形では証明されないかもしれないが、「純粋な」形ではまだ正しいことを示している。 定理 6. [編集 ] a, bを自然数とし、任意の数2, 3, …, nを表すと、3n+1の和は3n+3+3n+2n+3n+1である。 証明しよう： a,bを自然数とし、3n+1の和を3n+3+3n+2n+3n+3n+2とする。xを区間0,1内の数とする。の和をzとする。