数学
定理 [ 編集 ] 整数から有理数への関数で、自然変換でないもの。 証明は、関数が自然変換ではないことを証明することから始まる。 各整数は有理数を表すことができるので、整数を受け取って有理数に射影する整数関数があるはずである。しかし、そのような関数は存在しない。もしそのような関数があるとすれば、それは整数の積でなければならない。 つまり、有理数を整数に射影する関数があれば、有理数を有理数に射影する関数を持つことはできない。 明らかに、非決定論的な出力を持つ関数を持つことはできない。 しかし、そのような関数はすべて自然変換でもないことを証明する必要がある。 証明 [ 編集 ] 私たちが持ちうる唯一の非決定論的関数は2乗関数である。 例えば、2乗関数は非決定論的な出力を持つかもしれませんが、（関数なので）両方の引数を掛け合わせれば同じ結果が得られます。複数の非決定論的関数を持つことはできないので、1つでなければならない。 矛盾による証明 [ 編集 ] 二乗関数は非決定論的出力を持たないので、そのような関数はゼロでなければならない。 そのような関数はゼロしかないので、自然な関数が存在しなければならない。